பெருக்கல் கணிதம்

பெருக்கல் கணிதம் சிம்ம சொப்பனம்

Basic Information

இந்தப் பாடத்தில், பின்னல் போன்ற கட்ட வடிவ முறையைப் (Lattice Method) பயன்படுத்தி பெருக்கல் கணக்கு கற்பிக்கப்படுகிறது. ஒரு கட்டத்தைப் பயன்ப்டுத்தி எளிய முறையில் பெரிய எண்களைப் பெருக்கும் வழிதான் இந்தப் பின்னல் பெருக்கலாகும். இந்த வழிமுறை நீண்ட மரபுவழிப் பெருக்கலைப் போன்றதாக இருப்பினும், இந்த வழியில் பெருக்கல் கணக்கு சிறு சிறு வழிகளாகப் பிரித்துக் காட்டப்படுகிறது. இந்தப் பின்னல் கட்டவடிவ முறையை முதன் முதலில் ஐரோப்பியாவில் 1202- ஆண்டில் லியோனார்டொ பிபோனாசி (Leonardo Fibonacci) என்பவர் அவரது லிபர் அபாசி (Liber Abaci) என்ற புத்தகத்தில் எழுதி உள்ளார்.

முன்னுரை: 

கணிதப் படிப்பில் குழந்தைகளுக்கு கூட்டல் முறையிலிருந்து பெருக்கல் முறைக்குச் செல்லுவது ஒரு பெரிய கடினமான காரியமாகும். அதிலும் அந்தப் பெருக்கல் இரண்டு இலக்கக் கணக்காக இருப்பின் குழந்தைகளின் சிரமம் அதிகமாகும். ஏனென்றால், பெருக்கல் வாய்ப்பாட்டை மனனம் செய்வது குழந்தைகளின் சக்திக்கு அப்பாற்பட்டதாகும். இளம் வயதில் குழந்தைகள் எதிர்கொள்ளும் கஷ்டங்களை முறியடிக்க இந்தப் பின்னல் கட்ட பெருக்கல் முறை ஒரு உதவிகரமான கருவியாகப் பயன்படுவது நிரூபணமாகி உள்ளது.

Objective: 

1. வகுத்தல் படிமுறைத் தீர்வை (algorithm) பின்னல் கட்டவடிவு முறை மூலம் (Lattice Method) மாணவர்களுக்கு அறிமுகம் செய்தல்.
2. நீண்ட பெருக்கலுக்கு மாற்றாக ஒரு எளிய வழியை மாணவர்களுக்குக் கற்பித்தல்.
3. ஒற்றைப்படை இலக்கத்திற்கு மேல் உள்ள எண்களைக் கொண்ட பெருக்கல் கணக்குகளுக்கு விடை காண மாணவர்களை முயலச் செய்தல்.
4. சிறிய சிறிய படிகளாக இரண்டு அல்லது அதற்கு மேலும் இலக்க முள்ள எண்களைப் பெருக்கும் கணக்குகளைக் கற்பதற்கு மாணவர்களுக்கு உதவுதல். மூன்று படிகள் வரை பயன்படுத்திப் பெருக்கலை மாணவர்கள் செய்யக் கூடும். பெருக்கல், கூட்டல், மிகுதி எண் (carry over ) ஆகியவைகளைத் தனியாகச் செய்து, குழப்பத்தையும், பிழைகளையும் தவிர்க்கலாம்.

Activity Steps: 

பின்னல் கட்டமைப்புப் பெருக்கல் முறை

பின்னல் கட்டம் அல்லது சல்லடைப் பெருக்கல் என்பது நீண்ட பெருக்கல் முறைக்கு வழிகோலும் ஒரு படிமுறைத் தீர்வு (algorithm) முறையாகும். அந்தக் கணித முறைக்கு ஒரு தாளில் வரையப்பட்ட கட்டம் - அதாவது பின்னல் போன்ற கட்ட அமைப்பு அவசியம். அந்தக் கட்டங்கள் விடைகாண வழிகாட்டுவதுடன், கூட்டலிலிருந்து எல்லாப் பெருக்கலையும் பிரித்து விடுகிறது.

படிகள்

படி 1 -

1. சுலபமான கூட்டலிருந்து பெருக்கல் எவ்வாறு வேறு பட்டுள்ளது என்பதை மாணவர்கள் நினைக்குபடிச் சொல்லவும். (  பெருக்கல் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணை அந்த எண்ணுடனேயே பலமுறை கூட்டிச் செய்வது என்று விளக்கவும். இந்தக் கருத்தைப் பற்றிய ஒரு தெளிவு பெற பல உதாரணங்களைப் பகிர்ந்து கொள்ள மாணவர்களை ஊக்கிவிக்கவும்.)
2. முதலில் ஒற்றைப் படை எண்களை  பெருக்கி மாணவர்கள் பயிற்சியை ஆரம்பிக்கச் சொல்லவும். இந்தப் பயிற்சியைச் சிறிது நேரம் செய்த பிறகு, இரட்டைப் படை எண்களைப் பெருக்குவதற்குச் சொல்லவும். லேட்டிஸ் பெருக்கல் என்ற பின்னல் கட்டமுறை தான் பெரிய எண்களைப் பெருக்குவதற்கான ஒரு எளிய இனிய வழி என்பதை மாணவர்களுக்குத் தெரிவிக்கவும்.

படி 2 -

பின்னல் கட்டப் பெருக்கலை (Lattice) எப்படிச் செய்ய வேண்டும் என்பதை படம் மூலம் விளக்குவதற்குக்  கரும்பலகையைப் பயன்படுத்தவும்.

பெருக்கல் கணக்கிற்கு இரண்டு இரட்டைப்படை எண்களைத் தேர்வு செய்யும் படி மாணவர்களிடம் சொல்லவும். மாணவர்கள் 22 என்ற எண்ணை மற்றொரு 13 என்ற இரட்டைப்படை எண்ணால் பெருக்க விழைவதாக நாம் கொள்வோம். அந்த இரண்டு எண்களின் பெருக்குத் தொகை 286. இந்த விடை பின்னல் கட்ட பெருக்கல் முறையில் எப்படி வந்தது என்பதை நாம் பார்ப்போம்.

பின்னல் கட்டத்தை ஒவ்வொரு எண்ணில் உள்ள இலக்கத் தின் எண்ணிக்கையின் அடிப்படையில் வரைய வேண்டும். முதல் எண் நெடு வரிசை (columns) கட்டங்களின் எண்ணிக்கைகளையும், அடுத்த இரண்டாவது எண் கிடை வரிசை (rows) கட்டங்களின் எண்ணிக்கைகளையும் குறிக்கும்.  நாம் தேர்வு செய்த இரண்டு எண்களும் இரட்டைப் படை எண்களாக இருப்பதால், இரண்டு நெடு வரிசைகள் - இரண்டு கிடை வரிசைகள் கொண்ட கட்டங்களாக வரைய வேண்டும்.

இடமிருந்து வலமாக கட்டத்தின் மேல் பாகத்தில் ஒவ்வொரு நெடு வரிசைக்கு நேராக முதல் எண்ணின் இலக்கங்களை எழுதவும். ஒவ்வொரு நெடு வரிசையிலும் 2 என்ற இலக்கம் இப்பொழுது எழுதப்பட்டுள்ளது.

இப்பொழுது அடுத்த எண்ணான 13-யை, கட்டத்தின் வலப்புறம் மேலிருந்து கீழே எழுதவும். ஆகையால், 1- என்ற எண் முதல் கிடை வரிசைக்கு நேராகவும், 3 என்ற எண் அதற்குக் கீழே உள்ள கிடை வரிசைக்கு நேராகவும் இருக்கும்.

பிறகு ஒவ்வொரு பெட்டியிலும் குறுக்குக் கோடுகள் படத்தில் காட்டியபடி வரையவும்.

பெருக்கல் விடையின் பகுதி இலக்கங்கள் இப்பொழுது கண்டுபிடிக்கப்படுகிறது. ஒன்று இட மதிப்பு எண் கீழே உள்ள குறுக்குக் கோட்டிலும், பத்து இட மதிப்பு எண் அதற்கு மேல் உள்ள குறுக்குக் கோட்டிற்கு மேலும் எழுதப்படும். பெருக்கல் எண் ஒத்தப்ப டை எண்ணாக இருப்பின், பத்தாவது இட மதிப்பில் பூஜ்யம் எழுதுவோம். ஆகையால், பகுதி பெருக்கல் விடை எண் முதல் கிடை வரிசையில் 1 x  2  &                            1 x   2  என்பதாகவும், இரண்டாவது கிடை வரிசையில் 3 x 2 &  3 x  2  என்பதாகவும் வரும். கட்டங்கள் பூர்த்தி செய்தவுடன், பின்னல் கட்டபெருக்கல் ( c ) என்ற படம் போல் காணப்படும்.

 இப்பொழுது குறுக்குக் கோட்டுக்கு இடையில் உள்ள எண்களைக் கூட்டி, அந்தக் குறுக்குக் கோடு முடியும் இட்த்திற்குப் பக்கத்தில் அந்த கூட்டுத் தொகையை படத்தில் காட்டியபடி எழுதவும். கூட்டும் பொழுது வரும் அதிகப்படியான எண் மேலே உள்ள எண்ணுடன் கூட்டவும்.

மேலிருந்து இடப்பக்கத்தில் தொடங்கி அடிப்பாகம் வரை உல்ள  இலக்கங்களை ஒன்று சேர்த்தால் வரும் எண்ணான 2861 தான் நமக்குக் கிடைக்கும் விடை.

  படி 3 -

மூன்று இலக்க இரண்டு எண்களின் பெருக்கலை இப்பொழுது பார்ப்போம். அந்த இரண்டு எண்கள் - 254 &  193.

இந்த இரண்டு எண்களின் பெருக்கல் விடை - 49022.

குறுக்குக் கோட்டு வழியில் இருக்கும் எண்களைக் கூட்டும் பொழுது, மிகுத எண்கள் வருகின்றன. இந்த மிகுத எண்கள் சிறிய கட்டப் பெட்டியில் காண்பிக்கப்பட்டுள்ளன. அவைகள் மேலே உள்ள அடுத்த குறுக்குக் கோட்டிற்கு மேலே படத்தில் காண்பிக்கப்படுவது போல் கொண்டு செல்லப்படுகிறது.

இந்த பின்னல் கட்டபெருக்கல் முறையில் நீங்களே வேறு கணக்குகளைச் செய்ய முயலவும்.

இந்தக் கட்டுரை முதலில் டீச்சர் பிளச் - தொகுப்பு II - இதழ் 2 - மார்ச் - ஏப்ரல் 2004 - வெளியிடப்பட்டு, அது சில மாற்றங்களுடன் இங்கு தழுவி வெளியிடப்படுகிறது.